Il Caos non esiste

goccia

Tutti i giorni, dal momento in cui ci svegliamo e appoggiamo il piede fuori dal letto, siamo soggetti al comune vivere. Prendere decisioni, giuste o sbagliate, facili o difficili che siano, è il motore che muove ogni causa-effetto della nostra e dell’altrui vita. Troppe volte, magari la notte nel letto persi con lo sguardo nel vuoto, abbiamo pensato: E se mi fossi comportato in altro modo? Sono artefice del mio destino o sono solo vittima del Caos?

Se si cercasse di indagare sul serio su queste domande si potrebbe anche giungere alla conclusione che le cose, forse, non sarebbero potute andare in altro modo. Il libero arbitrio, che per anni la religione ha profilato come caposaldo della dottrina, potrebbe non essere così libero come ci si aspetta.

Per anni la scienza, sfruttando gli strumenti più moderni della matematica e della fisica, ha cercato – a detta di alcuni invano – di darci un senso. In matematica la teoria del caos è lo studio, attraverso modelli propri della fisica, dei sistemi dinamici che esibiscono una sensibilità esponenziale rispetto alle condizioni iniziali. I sistemi di questo tipo, pur governati da leggi deterministiche, sono in grado di esibire un’empirica casualità nell’evoluzione delle variabili dinamiche. Ma questo comportamento casuale è solo apparente, dato che si manifesta nel momento in cui si confronta l’andamento temporale asintotico di due sistemi con configurazioni iniziali arbitrariamente simili tra loro.

Ciò significa che per la matematica il caos non esiste, ma è la conseguenza di un evento di cui nel tempo si è perso traccia. 

L’esperimento del rubinetto

Proviamo ad aprire un rubinetto e farlo gocciolare. L’acqua risale il tubo molto lentamente e sgorga con una flebile forza. Le condizioni in cui si trova l’acqua a contatto con l’aria sono sempre le stesse; stiamo parlando di una situazione a temperatura e pressione costante. La tensione superficiale dell’acqua resiste fino a quando non riesce più a sostenere il suo stesso peso. Si crea quindi una goccia che si stacca, cadendo e picchiettando sul lavabo. Se queste condizioni non cambiano nel tempo, noteremo che il suono della goccia, rompendosi sulla ceramica, produce un ritmo costante.

Ora apriamo il rubinetto ancora un poco. La portata aumenta, il ritmo si fa più incalzante, ma  resta pur sempre regolare. Apriamolo ancora un’altro po’; l’attimo prima che il flusso diventi un unico continuo scorrere, il gocciolio non sembra più uniforme: siamo nel caos totale. L’assurdo è che le nostre condizioni non sono cambiate: la temperatura è la stessa, la pressione non è variata e il flusso è aumentato gradualmente. Lo sgocciolare però ora è discontinuo, o meglio, sembra essere tale. In realtà un occhio esperto ci può confermare che il ticchettio è ancora coerente, tuttavia lo schema con la quale questo si ripete è talmente complesso che ad una prima vista appare casuale. 

Una formula, tante spiegazioni

Un modo per descrivere questi eventi è attraverso una formula molto semplice, che viene chiamata mappa logistica   xn+1 = xn ( 1-xn ) λ , dove xn è il rapporto tra una quantità presente e la corrispettiva massima quantità possibile nello stesso lasso di tempo, xn+1 è il rapporto del lasso di tempo subito successivo e λ è quello che viene nominato “tasso di crescita”. Presa singolarmente e fissato il valore di λ, si tratta di una semplice funzione che oscilla a un valore stabile, indipendentemente dalle sue condizioni iniziali.

Supponiamo di voler controllare una cultura di coniglietti. Se il tasso di crescita è costante, quello che succede è che l’anno successivo avremmo una cultura di coniglietti moltiplicata esponenzialmente del fattore λ . Tuttavia il coefficiente (1-xn), che nel nostro caso ne descriverebbe la mortalità, aumenterebbe, con la conseguente diminuzione complessiva della riproduttività dei coniglietti. Processando il tutto per più generazioni si arriverebbe ad una cultura stabile, dove la quantità di quelli che ne nascono equivale alla quantità di quelli che ne muoiono.

Fino a questo punto, la matematica descrive un fenomeno del tutto regolare, nel quale ogni scienziato si può ritrovare. Supponiamo invece di avere un prato infinito e di conseguenza risorse illimitate. Risulta intuitivo capire come il tasso di crescita ora abbia un valore molto più elevato. Di conseguenza la riproduzione e il tasso di mortalità sono completamente fuori controllo. I coniglietti sembrano nascere e morire alla rinfusa, nel caos più totale. Ciò nonostante siamo ben consci dell’esistenza di un pattern che si ripete, ma non siamo in grado di ricavarlo senza conoscerne le condizioni iniziali. 

Una triste risposta

Se tutto ciò che ci circonda è regolato da uno schema ripetitivo e per nulla casuale, cosa blocca i moderni fisici a calcolare il futuro? Semplice: l’impossibilità di avere l’assoluta certezza matematica delle condizioni iniziali. 

Si racconta che Heisenberg, uno dei padri della Fisica quantistica e premio Nobel nel 1932, pochi minuti prima di morire abbia detto: “Quando nell’aldilà avrò l’opportunità di interrogare il Creatore, gli voglio chiedere due cose: perché la relatività e perché la turbolenza. Almeno sulla prima spero di ottenere una risposta”.

 

Fonti

Mappa Logistica e moti Caotici (Professor Giancarlo Benettin – Università Studi di Pavia 2013): http://tesi.cab.unipd.it/46532/1/Gasparotto_Federico.pdf

This Equation Will Change How You See The World (Veritasium – blog a cura di Dr. Derek Muller 2020):
https://www.veritasium.com/videos/2020/1/29/this-equation-will-change-how-you-see-the-world

The Dripping Faucet as a Model Chaotic System (Libro di Robert Shaw 1984)

Visual Analysis of Nonlinear Dynamical Systems: Chaos, Fractals, Self-Similarity and the Limits of Prediction (Assistant Professor Geoff Boeing – USC Sol Price School of Public Policy 2016):
https://www.mdpi.com/2079-8954/4/4/37/htm

 

William Zeni

Pubblicato da William Zeni

Nasco in provincia di Bergamo e coltivo i miei studi presso il Liceo Scientifico. La matematica, la Fisica e l'Informatica diventano il mio forte e decido di approfondirle al Politecnico di Milano. In un mondo freddo di soli numeri e formule, trovo riparo nella scrittura, per la quale mi appassiono. Nel 2020 entro a far parte della rivista Intermezzo e scrivo articoli incentrati sull'ambito scientifico.